Möbius Strip，我不太喜欢“默比乌斯带”这个翻译，因为在我认识它时，我看到的说法都是“莫比乌斯圈”或“梅比乌斯圈”，不过其实早在1993年，全国科学技术名词审定委员会就规定了这个词的正规翻译是“默比乌斯带”，所以……

一、魔术

魔术师拿起一条纸带，把它粘成一个环，从中间撕开，这个纸环变成了一个更大的纸环。再撕一下，哈哈，大纸环变成了两个套在一起的纸环。

很简单，显然是在粘纸环时做了一点点手脚，把纸带扭曲了一下，把它粘成了一个默比乌斯带。默比乌斯带一个最明显的特性就是它只有一个面，而且从中间撕开的时候会变成一个大圈圈，估计这一点大家都知道了吧。

这个“一个面”的特性有一个很好的用处，就是在做传动皮带的时候，如果把皮带做成默比乌斯带，就是让皮带得到更充分的利用。如果用在磁带上，也许就可以更有效的利用带基，也可能免去翻面的麻烦。多废话罗嗦一句，不要误解这一点，现在的录音磁带的翻面只是用磁带的两个不同磁道，可不是用了正反面啊。

二、四维空间的臆想

小时候总是喜欢胡思乱想，四维空间这个似乎很神奇的名词也不断的被误解和歪曲。但小孩子总是对这种乱想乐此不彼，所以乱想也就放在这里做为“玩具”吧。

一般人是不能想象四维空间的，因为我们所能认识到的世界是三维的，我们只能理解小于等于三维的东西。零维是点，一维是线，二维是面。任何一维，只要在不属于它的维度上运动起来就让维度升高了一级。把高维的东西放到低维空间去就更简单了，投射即可。所以如果我们能帮助二维世界的生物理解三维，我们也许就可以理解四维了。

默比乌斯带就是帮助二维空间理解三维的一个好工具。默比乌斯带本身是二维的，它就是一个面，唯一的问题在于它被在高维的空间中扭曲了一下。

把一匹三维的马投影到二维空间，如果从正侧面投影的话，可能有两种结果，一种是马头朝左，一种是马头朝右，这两种二维马是无法相互转换的，除非把它拿到三维空间来翻个面，再放回二维空间去。有了默比乌斯带，情况就不一样了，一匹马只要沿着默比乌斯带走一圈，再把自己从倒立姿势变换正立，它就成功的把自己变成了另一个朝向的马。

小时候我一度没有理解这个故事，我剪了一匹纸马，扶着它在默比乌斯带上走，发现走回原地时，它还是没有发生变化。错就错在我在用三维的眼光去看二维的事物，我的纸马不是在默比乌斯带这个二维面上走，而是在它的外面走，所以走回原地时，实际上已经走了两圈了。用纸做的默比乌斯带是有厚度的，是三维的，而真正意义上的默比乌斯带是一个曲面，没有厚度，马是嵌在这个面里面走，而不是在它外面。

理解了这个，我们就可以继续臆想四维空间了，如果在四维空间在帮助三维空间做一个扭曲，以后生产手套的厂家就高兴了，他们的生产不用区分左右手了，只要生产一种，然后拿一半去扭曲的空间转一圈，回来翻个面，另一种手套就做好了。

三、变色(变数字)的六边形

聊了很多，今天真正的玩具才刚刚登场。这个玩具我从小学做到研究生毕业，每次都还能引吸一些人来研究。不过后果常常是把我做好的玩具搞坏了 :-(

这个玩具很简单，就是把一个默比乌斯带压压扁。

说得容易做的不容易，因为这个“压压扁”要压得恰当好处才行，所以还是按图做比较好。

剪一条2-4厘米宽的纸带，画上10个正三角型，如图在两面分别写上数字（或相同数字涂上相同的颜色）和标记，然后沿红线和蓝线折起来，红线表示陷下去，蓝线表示鼓起来。比如在上面的图中，折好后2和*、2和2都是面靠面，1和3是背靠背。然后，把打*号的面粘起来，需要把纸带交叉一下才能让*号和*号粘起来，不好描述，自己体会一下吧，反正粘好以后就是个压扁的默比乌斯带。

这时正面是一圈一致向内的1，反面是东倒西歪的3，而2就不见了。我们的目标就是要把1、2、3分别变出来，而且最好要求是一致向内。

怎么变呢？我实在是不太会描述，有兴趣的朋友不妨自己试一试。我把我的描述写在这篇文篇的回复中，想看的人看看吧。

三种变换很单调，这个玩具还可以很轻松的扩展成六种、九种、十二种或更多的变换。做法不难，首先算一下要画多少个三角型，公式显然是3*N+1个，因为N种变化需要6*N个三角面，纸是双面的，所以只要3N个，加上的一个多了两个面是用来粘贴的。先把这条纸带“拧麻花”，六种变化的拧一次，九种的拧两次，以此类推，就可以得到一条看上去只10个三角面的纸带，于是就可以按三种变换时的做法把它折成最终的玩具了。还是以六种变化的为例画个图吧：

所谓“拧麻花”就是沿红线折叠啦，折完以后纸带就成为跟前面一样看起来是10个三角形的样子了，不过在具体做最后一步时可能需要发挥一下主观能动性，思考一下怎么叠才是合理的，这个只能意会不能言传了。纸带上标的数字我也不知道要怎么标了，我自己都是做好以后再一边玩一边标上去的。

下面是一些经验之谈：用的纸要尽量薄但有韧性，纸带宽度和正三角形的60度角一定要精确。与其画N个三角形出来不如只画一个，然后把剩下的直接折出来，又快又精确。6种变换的是最有性价比的，因为纸是有厚度的，变换越多折得次数越多，很厚的时候就不好折了。要知道“一张无论多大的纸都最多可以对折7次”左右。

有关这个玩具的数学原理？抱歉，我真不知道。迄今为止我只在两本杂志上看到过这个玩具，一本只讲了最简单的3种变换的，另一本介绍了推广到N种颜色的，在网上我还没有看到过任何相关的介绍。如果你知道有相关资料或原理介绍，希望能让我知道一下。

什么时候玩具会搞坏？当你发现一个面上出现不同的数字（颜色）的时候。为什么会坏？折来折去其实都是在做变换，从拓扑学看，虽然对于这个封闭的曲面来说怎么折它在拓扑上都是等价的，但表现出来可能会是不同的形状，如果正好扭到了一个不正确的状态，玩具就坏了。虽然理论上一定可以再把它折回到正常状态，在实践中，还是把它剪开再重新折好贴起来才更有性价比。