现有1000个苹果，10个盒子，问各个盒子内应该分别放入多少个苹果，才能使得用户要买任意1至1000之间的一个苹果数，都可以给他（卖的时候是整个盒子卖，不能拆盒子的包装）。

曾经在我的那些数学玩具们——二进制篇中提到过这个问题，看过那篇文章后，答案应该是不言而喻的，1, 2, 4, 8, 16, 32……

如果把题目换成：现有一架天平，若干个砝码，每个砝码应该分别多重才能称出1至1000克整数克的物品？

答案如果是不假思索的1, 2, 4, 8, 16, 32……自然是可以的，那我也不用废话写这篇文章了。实际上1000个苹果需要装在10个箱子里，用天平称1至1000克的物品却不需要10个砝码，只用7个就够了。

差别在于：装苹果的盒子只以能是选择拿或者不拿，而天平则可以不放砝码，或者把砝码放在左边，或者放在右边。所以，我只用两个砝码：1克和3克，就可以称出1至4克的任意整数克。

因此，解装苹果的问题需要用到二进制，解天平砝码的问题则需要用到三进制。二进制有0或1，真或假，开或关的两种状态。三进制则就有三种状态，0、1、2或-1、0、1（平衡三进制）。

在生活中，也有不少东西具有三种状态。对于天平称东西的问题（尤其是那些在XX个小球中找出X个不同的智力题）或者一些带有约束条件的过河问题，都可以用三进制来建模和解决。

进位制是一个很有意思的话题，以学习十进制和二进制的思维方式，我们就很容易的类推出各种进制的表现型式和性质，甚至于还可以捣鼓出“负2进制”之类的东东。感兴趣的TX可以考虑拜读Donald E. Knuth的神书TAOCP的第二卷。

好吧，其实这篇文章算是看了《进位制与数学游戏》一书的一小点收获了，在这本书中，作者不厌其烦的为一个相同的数学模型创造出了无数的问题和实例，所以在看完整本书后，能发现的收获也就只有那么一小点。

最后联想到了一个以前学编译原理时老师讲过的题，当时在课堂上我还真是没能自己做出来：

构造一个DFA，用于识别字母表∑={0，1}上可以被3整除的二进制数。